前回　https://volcano-tofu.amebaownd.com/posts/3756198

・平方完成をする　（ax²＋bx＋c を a(x－p)²＋q の形に直すこと。標準形ともいう）

・頂点・軸を求める

・最大値（最小値）を求める

今回はまぁ、二次関数を扱っている人であれば誰でもできることなんですが、平方完成をしていきます。

特に定義域が指定されていなければ、ｘ²の係数「ａ」だけで判断することができるなど、これを知らないと何もできないところから説明していきます。

（圧倒的に長いし、これを読むのであればどこかのサイトに行った方が早いのでは…）

一応自己満足で（（（

－平方完成　（長いので飛ばしても構いません）

基本的には下のとおり、

ax²＋bx＋c　⇔　a(x－p)²＋q

の形に直すことが目標になります。

ａの値は関数の移動において意味をなさないので、今回限り、ａ＝１とおきます。

（ａの値が大きくなれば、小さく狭くなり、

　ａの値が小さくなれば、大きく広がります）

x²＋bx＋c　⇔　(x－p)²＋q　　←今回扱うもの

名前から見るからに、「平方」と書いていますよね？これは二乗を意味します。

ｘの係数を飛ばして、二乗の形に持って行くのが最終目標になります。

例えば、「ｘ²＋１０ｘ＋２５」を考えるとしましょう。

これは普通に因数分解ができますよね。

ｘ²＋１０ｘ＋２５　⇔　（ｘ＋５）²

さて、この形は　（ｘ－ｐ）²　の形ですよね。

前回も扱いましたが、（ｘ－ｐ）²　は、ｘ軸にｐだけ移動します。

今回は「ｐ＝－５」ですので、ｘ² が ｘ軸方向にー５だけ移動します。

つまり、頂点が（－５，０）からぐにょーん、と伸びてるイメージ。

では、「ｘ²＋１０ｘ」の場合はどうでしょうか？

よくよく見ると、「ｘ²＋１０ｘ＋２５」の形に２５を引いていますね。

ｘ²＋１０ｘ＝（ｘ²＋１０ｘ＋２５）－２５

さて、上記の結果から、

ｘ²＋１０ｘ＋２５　⇔　（ｘ＋５）²

を我々は既に手に入れています。

よって、

（ｘ²＋１０ｘ＋２５）－２５

＝（ｘ＋５）²－２５

これが成り立ちます。

そして、「（ｘ－ｐ）²＋ｑ」と比較してみると、

「ｐ＝－５」、「ｑ＝－２５」であることが判明しました。

つまり、この関数の頂点は（－５、－２５）です。

この頂点からびにょーん、と伸びています。

えー、横軸がｘ軸で、縦軸がｙ軸です。みづらいのは申し訳ナス

（飛ばし防止ポイント）

上記のやり方でも「平方完成」として作ることは可能ですが、面倒ですよね？

実は「ｘ²＋ｂｘ＋ｃ」を３ステップで変形させることができるんです。

（本来ならａの値も考慮するので、４、５ステップになりますが・・・）

例えば、ある二次関数を「ｘ²＋２ｘ」としてみます。

それでは３つのステップをご紹介。

①、まずはｘの係数「ｂを２で割る！」

②、ｂを２で割った値をＢとし、「（ｘ＋Ｂ）²－Ｂ²＋ｃ」にする。

③、あとは計算して終わり！

まずは①から見ていきましょう。

今回の関数は「ｘ²＋２ｘ」。ｘの係数は「２」です。これを２で割ります。

２÷２＝１　　（Ｂ＝１となる）

Ｂ＝１になったので、「（ｘ＋Ｂ）²－Ｂ²＋ｃ」に代入します。

※今回はｃ＝０として扱います。

（ｘ＋Ｂ）²－Ｂ²

＝（ｘ＋１）²－１

はい！完成。

ここで初めて私が思ったことは、「なぜ２で割るんだろう？」、「どうして最後に引かないといけないんだ？」などなど。

その理由は展開でよく扱う（ｘ＋５）²を展開すれば分かります。

（ｘ＋５）²

＝ｘ²＋２×５ｘ＋５²　　　ここの２に注目！

＝ｘ²＋１０ｘ＋５²

２回だけ「５ｘ」が足されていますよね？

つまり、２で割らないと同じにならないのです。

何を言ってるのか分からないと思いますが、これは量を熟せば分かります。実際私も最初っから分からなかったので（（

あとは、回数を熟すサイクルをしていけば、２で割ることすら一瞬で終わります。ここだけは沢山やって計算力を上げて時間を省いていきましょう。

頂点・軸の求め方

軸という、見慣れない（？）言葉が登場します。

最終的には原点を通るｙ軸を平行移動させた直線だと思ってください。

もしくは「この線をもとに対称になっている」とイメージしてください。

そもそも、頂点は前にも求めましたね。

「（ｘ－ｐ）²＋ｑ」で表されたときの（ｐ、ｑ）が頂点でした。

例えば、上記で求めた「ｘ²＋２ｘ」で考えていきましょう。

これを平方完成する（標準形に直す）と、「（ｘ＋１）²－１」になります。

これを見ると、「ｐ＝－１」、「ｑ＝－１」であることが分かります。

従いまして、頂点は、点（－１、－１）です。

では、軸はどうでしょうか？

点（－１、－１）からびにょーん、て伸びているので、頂点が通ればいいのです。

まぁ、一応公式みたいなのがあって、「ｘ＝ｐ」がその関数の軸となります。

今回は「ｐ＝－１」なので、軸は「ｘ＝－１」。

これでおしまい。

以上の平方完成と軸をまとめてみましょう。

平方完成の３ステップは、

①、まずはｘの係数「ｂを２で割る！」

②、ｂを２で割った値をＢとし、「（ｘ＋Ｂ）²－Ｂ²＋ｃ」にする。

③、あとは計算して終わり！

軸の求め方は

ｘ＝ｐ　　　（ｙ軸と平行な直線です。つまり、ｐを通る縦の直線）

最大値・最小値の求め方

さぁ、これで今回はおしまい。

といっても、結論からいうと、「ａの符号だけで分かる」のです。

二次関数は中学３年生でも扱いました。覚えていますか？

例えば、「ｆ(ｘ)＝ｘ²」を考えてみます。これは「ａ＝１」ですね。

ｆ(ｘ)＝ｘ²　　とする。

ｆ(１)＝１

ｆ(２)＝４

ｆ(３)＝９

・

・・

・・・

・・・・

よって、ｘの値が増加すれば、ｆ(ｘ)の値も増加する。従って、単調増加であることがわかる。

※単調増加とは、ｘの値が増加すればｆ(ｘ)も必ず増加しますよ、ということ。

それでは、「ｆ(ｘ)＝－ｘ²」としてみましょう。これは「ａ＝－１」で、「（－１）×（ｘ）²」です。間違わないようにしましょう。

ｆ(ｘ)＝－ｘ²　　とする。

ｆ(１)＝－１

ｆ(２)＝－４

ｆ(３)＝－９

・

・・

・・・

・・・・

よって、ｘの値が増加すれば、ｆ(ｘ)の値が増減する。従って、単調減少であることがわかる。

さて、この結果を比較してみましょう。

　　　　「ａ＝正」のとき、「ａｘ²≧０」が成り立ちますよね。

ですが、「ａ＝負」のとき、「ａｘ²≦０」が成り立ちます。

ａの値が正のとき、ａｘ²≧０

ａの値が負のとき、ａｘ²≦０

さて、上記の２つが分かりました。

このことから「最大値」、「最小値」を探っていきます。

まず、「ａ＝正」のとき、これは最大値を持ちますか？持ちませんか？

ａｘ²≧０　を見てみましょう。

ｘはどんな値も受け入れてくれます。どんな大きな値だとしても。

要は、ｘの範囲は無限大に広がってしまうわけなんです。

これでは「最大値はある！」なんて言えませんよね？　　・・・①

しかも、右辺を見てみると、「０」と書いています。

つまり、ａｘ²の関数は、「０未満になることはない」と訴えているのです。　　・・・②

以上の①、②から

最大値はない

ｘ＝０のとき、最小値は０　　　（最大値・最小値の一方があるとき、ｘがどの値なのかも“絶対”書いてください！！）

次は、「ａ＝負」の値を取る場合も考えてみます。上記から、

ａの値が負のとき、ａｘ²≦０

と書いてあるので、ｘはどんどん小さな値を取ってしまいます。　　　・・・①

また、「０を超すことはない」ことも分かります。　　　　　　　　　・・・②

以上の①、②から

ｘ＝０のとき、最大値は０

最小値はない

となります。

最大値・最小値の順番はとくに気にしなくても大丈夫です。

圧倒的に長すぎるしこんなに長くなくてもいいような気がする・・・・・・・。