（因数分解を取り扱う予定はありません）

本当に数学が苦手の方へ贈るなにか

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こんにちは。タイトルの通り、二次関数などの「関数」をはじめからていねいにセンターレベルまで導くのをモットーに作成してみました。（基礎レベルを終わらせたあと、一般的なレベルに移ります。）

私自身も言うほど出来が良くないので問題を解きながら良さそうと思ったのをピックアップさせていただきます。

特に数Ⅰでつまづくところと言えば、「二次関数」と「三角比」ぐらいだと思います。

（ボイラーは飽きたので今はやる予定は全くありません（（）

（下まで飛ばしてもらって構いません）

目次

１－基本的操作を学ぼう

・不等式について

・ｆ（ｘ）ってなに？

・頂点から二次関数を求める

２－二次関数の変形

・平方完成をする　（ax²＋bx＋c を a(x－p)²＋q の形に直すこと。標準形ともいう）

・頂点・軸を求める

・最大値（最小値）を求める

３－グラフ移動

・二次関数の平行移動

・移動関連

４－二次不等式

・共有点から範囲を求める

・判別式Dを使ってみる

※意味をしっかり理解しないとつまづきやすいポイントである

５－少ない情報から二次関数を求める　（関数の決定）

・３点を通る関数

・軸と２点を通る関数

・最大値（最小値）と１点を通る関数

※非常に応用性が効くのでしっかりと押さえたい部分である

６－二次関数の最小・最大

・定義域ありの最大・最小

・定義域が文字である（変化する）最大・最小　（やや難）

※こちらも応用性が効く

以上のことが理解できれば土台の土台が完成します。

絶対値に関しては触れない方針（（

１－基本的操作を学ぼう

・不等式

・ｆ（ｘ）

・標準形から頂点を求める

さまざまな二次関数において、今後必要になってくる知識をご紹介します。

恐らく中学で扱う部分だとは思いますが、「不等式」から扱うことにします。

等式と不等式の違いは「イコール」なのか「大なり小なり」なのかということ。

ｘ＝１　と　ｘ＞１　のようなものです。

しかし、両辺にマイナスを掛けると大きな差が生じてしまいます。

ｘ＝１　→　－ｘ＝－１

ｘ＞１　→　－ｘ＜－１　　　不等号が　＞　から　＜　に変化

このように不等号が変わることを忘れてはいけません。当たり前なことではありますが、当時知らなかった私は答えを間違える羽目になりました（

このことは二次不等式で扱うので今は気にする必要はないです。

とにかく、両辺にマイナスをかけたら記号は変える！

それと、≦や≧の場合も載せておきます。

ｘ＜１　　－ｘ＞－１

ｘ≦１　　－ｘ≧－１

ｘ＞１　　－ｘ＜－１

ｘ≧１　　－ｘ≦－１

ｆ（ｘ）ってなに？

ｆ（ｘ）は「エフエックス」と読みます。

このｆというのは、「関数の名前」で、　　　　　　　　（名前の由来はfunctionの頭文字）

（ｘ）というのは、「ｘの関数」という意味を持ちます。

メリットとしては、沢山の関数が出る場合に役立ちます。

ｆ（ｘ）とｇ（ｘ）の交点は（ａ、ｂ）である。

みたいな感じ？

ですが、（ｘ）というのは「ｘの関数」であるため、

ｆ（ｘ）＝ｘ＋５　は成り立ちますが、

ｆ（ｘ）＝ｘ＋ｙ　というのは成り立ちません。

※ただし、ｙが変数であるなら問題ないものの、書くのであれば f(x)＝x＋a にしましょう。

ｘに２を代入したい場合、

ｆ（ｘ）を例にしたらｆ（２）と書くことができます。

例えば、ｆ（ｘ）＝ｘ＋１　としたら

　　　　ｆ（２）＝２＋１

　　　　　　　　＝３　　　になります。

ｆ（ｘ）＝５ｘ－２　のとき、

ｆ（２）＝１０－２

　　　　＝８

また、ｆ（ｆ（ｘ））のようなものも登場します。

　　　ｆ（ｘ）＝ｘ＋１　　　　　　　として考えると、

ｆ（ｆ（ｘ））＝（ｘ＋１）＋１　　　のように、ｘに（ｘ＋１）を代入します。

　　　　　　　＝ｘ＋２

ちょっとややこしいですが、慣れるまで繰り返しするのがいいです。

　　　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋３

ｆ（ｆ（ｘ））＝２（２ｘ＋３）＋３

　　　　　　　＝４ｘ＋６＋３

　　　　　　　＝４ｘ＋９

頂点から二次関数を求めよう

やっと二次関数に入りました。頂点だけ求めて二次関数の世界を少しだけかじりましょう。

二次関数といえばある１点から「ぐにょーん」って２つにわかれていますよね？

その１点こそが頂点なのです。今はそういうイメージで（

今回は（０，０）からぐにょーんって伸びてますよね。これこそが頂点。

こちらの場合はどうでしょうか。

（０，－４）からぐにょーんって伸びてますね。これが頂点なのです。

以上の２つの関数の頂点を求めましたが、ａ＝１としたとき、この時点でその関数が手に入ります。

例えば、１つめの関数は（０，０）が頂点ですよね。

これはｘに０を代入したらｙも同じく０になる値ということ。

つまり＋１とかー７とかの定数がない　⇔　ｘだけで表されている

このことから、ｙ＝ｘ²が明らかです。

２つめの関数は（０，４）が頂点です。

これはｘに０を代入したらｙは４になるということ。

このことから、ｙ＝ｘ²＋４が明らかです。

さて、では頂点が（１，０）のとき、どうなるのか？

今回はｘが１です。

ｙの値がｂだけ変化しているのであれば、ｘ²＋ｂの形で表せるのですが、

ｘの値がｂだけ変化しているのであれば、ｘ²＋ｂの形で表すことができません。

では、どうするのか？というと、

ｘ方向にａだけ動かすなら、　

（ｘ－ｐ）²　

という形になります。

なので、今回は（ｘ－１）²　が答えになります。

ｘに１を代入すると、ｙ＝０になりますよね。

つまり、（１，０）の１点からびにょーんっと伸びてるイメージです。

というかｙ＝ｘ²をｘ軸方向に１ずらす、といった表現ですね。

ａ＝１とし、二次関数の頂点が（－２，３）である関数を求めてみましょう。

まず、（０，３）として考えます。

ｘが０のとき、ｙ＝３　であります。

なので、ｘ²＋ｂ　のｂは３になります。

ｂ＝３　　・・・①

次は（－２，０）として考えます。

ｘ軸に－２だけずれているので、（ｘ－ｐ）²　に　ｐ＝（－２）を代入します。

なので、（ｘ－（－２））²　となり、

　　　　（ｘ＋２）²　となります。

（ｘ＋２）²＋ｂ　・・・②

②に①を代入して、（ｘ＋２）²＋３

これが答えになります。

さて、これで頂点から関数を求めることができました。

応用すれば、「頂点と１点」だけで二次関数を求めることができます。

５の関数の決定です。知らなくてもできますが・・・・・

次回は平方完成をします。そして、今回求めた頂点と軸。最大値と最小値を求めます。