圧倒的長さのタイトルですが、

「中学生でも分かる！２の１００乗と３の５０乗の比較」

でございます。

その他、２の１００乗に近い３のｘ乗のｘについて探っていきます。

ご期待ください。

方法

ちょっとだけでいいので考えてみて下さい。

いくつ思い浮かびますか？

最初は「対数とって比べるしかないのかなぁ」なんて思っていましたが、

「比べる」ということは差を求めれば良い。

そのあと面倒になったので、ある数に着目して30秒も掛からず計算できました(笑

あまりすぐには答えを言いたくはないのですが、

指数

に着目しました。

例えば、　３⁵、４⁵、５⁵　の中で最も大きい数字といえば　５⁵　ですね。

このように

指数を揃えて比較する

これが１つのテーマです。

さて、指数の変換を行うためには予め「指数法則」というルールがあるので、それに基づいて考えていかなければならないのですが、

今回使うのは

a^mn ＝ (a^m)^n

を用います。

例えば、

9⁹　を考えたとき、

(3²)⁹　になって、

3¹⁸      になります。

これを用いて、9⁹と3¹⁹を比較したら、

3¹⁹ ＞ 3¹⁸　より、

9⁹　の方が小さいことが分かります。

本題

さて、2¹⁰⁰　と　3⁵⁰　を比較していきましょう。

上記のとおり、2 の指数を 100 から 50 に変えればよいのです。

2¹⁰⁰　の指数を50に変えていきます。

2¹⁰⁰

＝2(²*⁵⁰)

＝4⁵⁰

となります。

4 ＞ 3　より、

4⁵⁰ ＞ 3⁵⁰

となります。従いまして、

2¹⁰⁰　＞　3⁵⁰

となります。

サブクエスト

2^100　と 3^50 では、2^100 の方が大きい、ということが分かりました。

では、3を何乗すれば 2^100 近づくのでしょうか？

正直、これは対数を取らないと難しいと思います。

まず、2^100 と 3^x でlogをとります。

これを実際に求めると、

100(log2/log3)

で値を求めることが出来ます。

その結果は

63.0929753571・・・

と無限に続きます。

(63で小数が続いているので、64でやっと2^100より大きくなります)

つまり、2^100 に近い 3^x のｘとは、63というわけです。

2^100 ≒ 3^63

補足

単にどちらかが大きいのだけを調べたいのであれば、

ｘ＝ｙ＋ａ　と表し、

ｘ－ｙ＝ａ　と移行して、

ａの値が正を取るのか負を取るのかで分かります。

log4/3 の 4/3 というのは1を超えているので、正の値を取ります。

つまり、aの値は正ということが分かりました。　(a＞0)

このことから、3^50の方が足りないことが分かりますよね。　(2^100 ＞ 3^50)

わざわざ対数を用いるより、指数上で解く方が楽だということは明確です。

難しい問題でも、広い視野で見て取り組んでみましょう。