青チャートに手をかざして問題を解いていくうちにまたまた数学が好きになっていく日々。

といっても、関数にはまだ手を出していないので苦手意識がさまよっていたり（

そんなこんなで複素数の問題を解いていたら、非常に面白かったので紹介。（基礎レベルですが）

前提知識のご紹介　　　（本題まで飛ばしてもらって構いません）

ー虚数（単位）

・二乗して－１になる数を指す。実数世界では存在しないので、ｉとして表す。

※特にｉ＝√－１

ー複素数

・ａ＋ｂｉで表される数。ａとｂが共に０でない場合、こちらも実数世界では存在しない。

複素数のａは実部、ｂは虚部と呼ぶ。また、ａとｂは実数で表す。

※特に（ａ＝０の）ｂｉは純虚数（じゅんきょすう）と呼ぶ。

ー共役な複素数

・ａ＋ｂｉとａ－ｂｉのことである。

和、積による計算で実数になる。（重要）

※分数の分母に複素数が出る場合、根号が混合したのを思い出してみよう

といった具合に外すことができた。これを複素数で再現をすればいいのだ。

３－４i²については、i²＝－１なので、－４ *（－１）より４になります。

従いまして、３＋４　すなわち７になります。

※2/17(火)追記

(3＋2i)(3－2i)

＝9－4i²

＝5

になります。すみませんでした。

（飛ばしすぎ防止迫真空白）

本題

２乗して６ｉになる複素数を考えていきます。

まず、与えられている条件から答えまで導いていきます。

今回与えられていることは「複素数」。

複素数とは、a＋biのことでした。この数を、大抵「ｚ」で表し、

z＝x＋yi　（ｘとｙは実数）

として表されます。

次に、「二乗して(提案)」と言われているので、ｚを二乗します。

z²＝(x＋yi)²

　＝x²＋2xyi＋y²i²

　＝x²－y²＋2xyi

今回求めたいのは「z²が6iのとき」です。z²＝6iと変更。

x²－y²＋2xyi＝6i

ｘとｙは共に実数で、

x²－y²＝０　・・・①　と

2xy＝6　　  ・・・②　となるようなｘとｙを探します。

①より、

y²＝x²　　もしくは(x＋y)(x－y)＝0

y＝±x　・・・③

③の結果をもとに、②を調べていきます。

±ｘと出てしまったので、ｘと－ｘの場合の２つで調べていきます。

[１]ｙ＝ｘの場合

②に代入して、

2xy＝6

2x²＝6

x²＝3

x＝±√3

この±というのは、ｙとｘが同じ符号になるということです。

よって、y＝xの場合

x＝±√3、y＝±√3　(複合同順)　　・・・④

次はy＝－xの場合を探ります。

[２]ｙ＝－ｘの場合

②に代入して

2xy＝6

xy＝3

－x²＝3

x²＝－3

前提に「xとyはどちらも実数である」ため、二乗して負になる数は存在しません。

従いまして、

x²＝－3を満たすｘは存在しない。　　・・・⑤

以上の④、⑤から、

ｚ＝√３＋√３i

ｚ＝－√３－√３i

が解になります。

※補足

②の　２xy＝６　に関して

これを満たすｘとｙの符号は同じでなければならないので、

その時点でｙ＝－ｘが存在しません。

複合同順に関して

ｘ＝±２、ｙ＝±２　（複合同順）

と書けば

ｘ＝２、　ｙ＝２

ｘ＝－２、ｙ＝－２　になります

一般的には∓を用いて

ｘ＝±２、ｙ＝∓２　（複合同順）

の形で表されます。こちらの場合は

ｘ＝２、　ｙ＝－２

ｘ＝－２、ｙ＝２

となります。